Analysis Beispiele

$f (x) = 4 - 3 x^{2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 4 - 3 {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 4 - 3 ((x + h) (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 - 3 (x (x + h) + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 - 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 - 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 4 - 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 4 - 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 4 - 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 4 - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 - 3 x^{2} - 3 (2 h x) - 3 h^{2}$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f (x + h) = 4 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $4 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$ .

$4 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $4$ .

$- 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + 4$

Schritt 2.2.2

Bewege $- 3 x^{2}$ .

$- 6 h x - 3 h^{2} - 3 x^{2} + 4$

Schritt 2.2.3

Stelle $- 6 h x$ und $- 3 h^{2}$ um.

$- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 4$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 4$

$f (x) = 4 - 3 x^{2}$

$f (x + h) = - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 4$

$f (x) = 4 - 3 x^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 4 - (4 - 3 x^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 4 - 1 \cdot 4 - (- 3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 4 - 4 - (- 3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 4 - 4 + 3 x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- 3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + 0 + 4 - 4}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- 3 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + 4 - 4}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $- 3 h^{2} - 6 h x$ und $0$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Schritt 4.1.8

Faktorisiere $3 h$ aus $- 3 h^{2} - 6 h x$ heraus.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $3 h$ aus $- 3 h^{2}$ heraus.

$\frac{3 h (- h) - 6 h x}{h}$

Schritt 4.1.8.2

Faktorisiere $3 h$ aus $- 6 h x$ heraus.

$\frac{3 h (- h) + 3 h (- 2 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.3

Faktorisiere $3 h$ aus $3 h (- h) + 3 h (- 2 x)$ heraus.

$\frac{3 h (- h - 2 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 h (- h - 2 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $3 (- h - 2 x)$ durch $1$ .

$3 (- h - 2 x)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- h) + 3 (- 2 x)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 h + 3 (- 2 x)$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 3 h - 6 x$

Schritt 4.2.3.3

Stelle $- 3 h$ und $- 6 x$ um.

$- 6 x - 3 h$

Schritt 5