Analysis Beispiele

$f (x) = {(2 x - 1)}^{2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(2 (x + h) - 1)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = {(2 x + 2 h - 1)}^{2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe ${(2 x + 2 h - 1)}^{2}$ als $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ um.

$f (x + h) = (2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x + h) = 2 x (2 x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Bewege $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 \cdot (2 x h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 \cdot (2 h x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h \cdot h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.10

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.3.10.1

Bewege $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 (h \cdot h)) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.10.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h^{2}) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Schritt 2.1.2.4

Addiere $4 x h$ und $4 h x$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Bewege $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 h x + 4 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Schritt 2.1.2.4.2

Addiere $4 h x$ und $4 h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Schritt 2.1.2.5

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 1$

Schritt 2.1.2.6

Subtrahiere $2 h$ von $- 2 h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Schritt 2.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Schritt 2.2.2

Stelle $8 h x$ und $4 h^{2}$ um.

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 0 + 4 x - 1}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $4 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 4 x - 1}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $4 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 1 - 1}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ und $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $4 h$ aus $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $4 h$ aus $4 h^{2}$ heraus.

$\frac{4 h \cdot h + 8 h x - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $4 h$ aus $8 h x$ heraus.

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) - 4 h}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $4 h$ aus $- 4 h$ heraus.

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $4 h$ aus $4 h \cdot h + 4 h (2 x)$ heraus.

$\frac{4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $4 h$ aus $4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1$ heraus.

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $4 (h + 2 x - 1)$ durch $1$ .

$4 (h + 2 x - 1)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 h + 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 h + 8 x + 4 \cdot - 1$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 h + 8 x - 4$

Schritt 4.4

Stelle $4 h$ und $8 x$ um.

$8 x + 4 h - 4$

Schritt 5