Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + \frac{2}{x - 1}$

Schritt 1

Setze $2 x + \frac{2}{x - 1}$ gleich $0$ .

$2 x + \frac{2}{x - 1} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x - 1, 1$

Schritt 2.1.2

Entferne die Klammern.

$1, x - 1, 1$

Schritt 2.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x - 1$

Schritt 2.2

Multipliziere jeden Term in $2 x + \frac{2}{x - 1} = 0$ mit $x - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere jeden Term in $2 x + \frac{2}{x - 1} = 0$ mit $x - 1$ .

$2 x (x - 1) + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Schritt 2.2.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 2 x + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Schritt 2.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 2 x + 2 = 0 (x - 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x - 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 2 x + 2$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 2 x + 2 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1) = 0$

Schritt 2.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ heraus.

$2 (x^{2} - x) + 2 (1) = 0$

Schritt 2.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ heraus.

$2 (x^{2} - x + 1) = 0$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - x + 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - x + 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2} - x + 1$ durch $1$ .

$x^{2} - x + 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 2.3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3