Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} + 2 x$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 x + 2 h$

Schritt 2.2.3

Bewege $2 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h + 2 x$

Schritt 2.2.4

Bewege $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 2 h + 2 x$

Schritt 2.2.5

Bewege $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

Schritt 2.2.6

Stelle $3 h^{2} x$ und $h^{3}$ um.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{3} + 2 x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{3} + 2 x$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x - (x^{3} + 2 x)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x - x^{3} - (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x - x^{3} - 2 x}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $h^{3}$ und $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ und $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $h$ aus $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{3}$ heraus.

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $h$ aus $3 h^{2} x$ heraus.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere $h$ aus $3 h x^{2}$ heraus.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + 2 h}{h}$

Schritt 4.1.7.4

Faktorisiere $h$ aus $2 h$ heraus.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Schritt 4.1.7.5

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2}) + h (3 h x)$ heraus.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Schritt 4.1.7.6

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ heraus.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Schritt 4.1.7.7

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2$ heraus.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$ durch $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 2$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 2$

Schritt 4.2.2.3

Stelle $3 x h$ und $3 x^{2}$ um.

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 2$

Schritt 5