Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 3$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 5 (x + h) - 3$

Schritt 2.1.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 5 x + 5 h - 3$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 5 x + 5 h - 3$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 5 x + 5 h - 3$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $5 x$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 5 h + 5 x - 3$

Schritt 2.2.2

Bewege $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + 5 h + 5 x - 3$

Schritt 2.2.3

Stelle $4 h x$ und $2 h^{2}$ um.

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 5 h + 5 x - 3$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 5 h + 5 x - 3$

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 3$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 5 h + 5 x - 3$

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 3$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 5 h + 5 x - 3 - (2 x^{2} + 5 x - 3)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 5 h + 5 x - 3 - (2 x^{2}) - (5 x) - - 3}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 5 h + 5 x - 3 - 2 x^{2} - (5 x) - - 3}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 5 h + 5 x - 3 - 2 x^{2} - 5 x - - 3}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + 5 h + 5 x - 3 - 2 x^{2} - 5 x + 3}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 5 h + 5 x - 3 + 0 - 5 x + 3}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $2 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 5 h + 5 x - 3 - 5 x + 3}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 5 h + 0 - 3 + 3}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $2 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 5 h - 3 + 3}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 5 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $2 h^{2} + 4 h x + 5 h$ und $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 5 h}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $h$ aus $2 h^{2} + 4 h x + 5 h$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $2 h^{2}$ heraus.

$\frac{h (2 h) + 4 h x + 5 h}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $4 h x$ heraus.

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + 5 h}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $5 h$ heraus.

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 5}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $h (2 h) + h (4 x)$ heraus.

$\frac{h (2 h + 4 x) + h \cdot 5}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (2 h + 4 x) + h \cdot 5$ heraus.

$\frac{h (2 h + 4 x + 5)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (2 h + 4 x + 5)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $2 h + 4 x + 5$ durch $1$ .

$2 h + 4 x + 5$

Schritt 4.2.2

Stelle $2 h$ und $4 x$ um.

$4 x + 2 h + 5$

Schritt 5