Analysis Beispiele

$P (t) = 20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$ , $t = 8$

Schritt 1

Die prozentuale Änderungsrate der Funktion ist der Wert der Ableitung (Änderungsrate) bei $8$ dividiert durch den Wert der Funktion bei $8$ .

$\frac{f' (8)}{f (8)}$

Schritt 2

Setze die Funktionen in die Formel ein, um die Funktion für die prozentuale Änderungsrate zu ermitteln.

$\frac{1000 t + 11700}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1000 t + 11700$ und $20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $20$ aus $1000 t$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t) + 11700}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $20$ aus $11700$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t) + 20 \cdot 585}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $20$ aus $20 (50 t) + 20 (585)$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Schritt 3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $20$ aus $20 {(65 + 5 t)}^{2}$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2}) - 1300 t}$

Schritt 3.1.4.2

Faktorisiere $20$ aus $- 1300 t$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2}) + 20 (- 65 t)}$

Schritt 3.1.4.3

Faktorisiere $20$ aus $20 ({(65 + 5 t)}^{2}) + 20 (- 65 t)$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2} - 65 t)}$

Schritt 3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2} - 65 t)}$

Schritt 3.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{50 t + 585}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $5$ aus $50 t + 585$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $50 t$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t) + 585}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $585$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t) + 5 (117)}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (10 t) + 5 (117)$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Es sei $u = t$ . Ersetze $u$ für alle $t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{4225 + 25 u^{2} + 585 u}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $5$ aus $4225 + 25 u^{2} + 585 u$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $4225$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 25 u^{2} + 585 u}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $5$ aus $25 u^{2}$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 5 (5 u^{2}) + 585 u}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $5$ aus $585 u$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 5 (5 u^{2}) + 5 (117 u)}$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (845) + 5 (5 u^{2})$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845 + 5 u^{2}) + 5 (117 u)}$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (845 + 5 u^{2}) + 5 (117 u)$ heraus.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845 + 5 u^{2} + 117 u)}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 u^{2} + 117 u + 845)}$

Schritt 4.4

Ersetze alle $u$ durch $t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 t^{2} + 117 t + 845)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 t^{2} + 117 t + 845)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{10 t + 117}{5 t^{2} + 117 t + 845}$

Schritt 6

Berechne die Formel bei $t = 8$ .

$\frac{10 (8) + 117}{5 {(8)}^{2} + 117 (8) + 845}$

Schritt 7

Vereinfache $\frac{10 (8) + 117}{5 {(8)}^{2} + 117 (8) + 845}$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $8$ .

$\frac{80 + 117}{5 \cdot 8^{2} + 117 (8) + 845}$

Schritt 7.1.2

Addiere $80$ und $117$ .

$\frac{197}{5 \cdot 8^{2} + 117 (8) + 845}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{197}{5 \cdot 64 + 117 (8) + 845}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $64$ .

$\frac{197}{320 + 117 (8) + 845}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $117$ mit $8$ .

$\frac{197}{320 + 936 + 845}$

Schritt 7.2.4

Addiere $320$ und $936$ .

$\frac{197}{1256 + 845}$

Schritt 7.2.5

Addiere $1256$ und $845$ .

$\frac{197}{2101}$

Schritt 8

Wandle $\frac{197}{2101}$ in eine Dezimalzahl um.

$0.09376487$

Schritt 9

Rechne $0.09376487$ in Prozent um.

$9.37648738$ %