Analysis Beispiele

f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ ,

x = 4

$x = 4$

Schritt 1

Die prozentuale Änderungsrate der Funktion ist der Wert der Ableitung (Änderungsrate) bei

4

$4$ dividiert durch den Wert der Funktion bei

4

$4$ .

\frac{f' (4)}{f (4)}

$\frac{f' (4)}{f (4)}$

Schritt 2

Setze die Funktionen in die Formel ein, um die Funktion für die prozentuale Änderungsrate zu ermitteln.

\frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x^{2} + 9}}

$\frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x \cdot 1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x \cdot 1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{x^{2} + 9}

$\sqrt{x^{2} + 9}$ als

{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}

${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Schritt 5.4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Schritt 6

Berechne die Formel bei

$x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{1}}$

Schritt 7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Potenziere

$4$ mit

$2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{1}}$

Schritt 7.2

Addiere

$16$ und

$9$ .

$\frac{4}{25^{1}}$

Schritt 7.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{4}{25}$

Schritt 8

Wandle

$\frac{4}{25}$ in eine Dezimalzahl um.

$0.16$

Schritt 9

Rechne

$0.16$ in Prozent um.

$16$ %