Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Schritt 1

Die prozentuale Änderungsrate der Funktion ist der Wert der Ableitung (Änderungsrate) bei $4$ dividiert durch den Wert der Funktion bei $4$ .

$\frac{f' (4)}{f (4)}$

Schritt 2

Setze die Funktionen in die Formel ein, um die Funktion für die prozentuale Änderungsrate zu ermitteln.

$\frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x \cdot 1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 9}$ als ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Schritt 6

Berechne die Formel bei $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{1}}$

Schritt 7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{1}}$

Schritt 7.2

Addiere $16$ und $9$ .

$\frac{4}{25^{1}}$

Schritt 7.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{4}{25}$

Schritt 8

Wandle $\frac{4}{25}$ in eine Dezimalzahl um.

$0.16$

Schritt 9

Rechne $0.16$ in Prozent um.

$16$ %