Analysis Beispiele

$H (u) = (u - \sqrt{u}) (u + \sqrt{u})$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (u + h) - f u}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = u + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $u$ durch $u + h$ .

$H (u + h) = ((u + h) - \sqrt{u + h}) ((u + h) + \sqrt{u + h})$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Multipliziere $(u + h - \sqrt{u + h}) (u + h + \sqrt{u + h})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $u \sqrt{u + h}$ und $- \sqrt{u + h} u$ neu an.

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - u \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Subtrahiere $u \sqrt{u + h}$ von $u \sqrt{u + h}$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} + 0 - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Schritt 2.1.2.2.1.3

Addiere $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h}$ und $0$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Schritt 2.1.2.2.1.4

Ordne die Faktoren in den Termen $h \sqrt{u + h}$ und $- \sqrt{u + h} h$ neu an.

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Schritt 2.1.2.2.1.5

Subtrahiere $h \sqrt{u + h}$ von $h \sqrt{u + h}$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + 0 - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Schritt 2.1.2.2.1.6

Addiere $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h$ und $0$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Schritt 2.1.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Schritt 2.1.2.2.2.3

Multipliziere $- \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ .

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Schritt 2.1.2.2.2.3.1

Potenziere $\sqrt{u + h}$ mit $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

Schritt 2.1.2.2.2.3.2

Potenziere $\sqrt{u + h}$ mit $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

Schritt 2.1.2.2.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.2.2.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{2}$

Schritt 2.1.2.2.2.4

Schreibe ${\sqrt{u + h}}^{2}$ als $u + h$ um.

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Schritt 2.1.2.2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u + h}$ als ${(u + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {({(u + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.2.2.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.2.2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.2.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.2.2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

Schritt 2.1.2.2.2.4.5

Vereinfache.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

Schritt 2.1.2.2.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - u - h$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $u h$ und $h u$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Stelle $u$ und $h$ um.

$H (u + h) = u^{2} + h u + h u + h^{2} - u - h$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $h u$ und $h u$ .

$H (u + h) = u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$ .

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $- u$ .

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - h - u$

Schritt 2.2.2

Bewege $u^{2}$ .

$2 h u + h^{2} + u^{2} - h - u$

Schritt 2.2.3

Stelle $2 h u$ und $h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{H (u + h) - H u}{h} = \frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - (u^{2} - u)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} - - u}{h}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- - u$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + 1 u}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + u}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $u^{2}$ von $u^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + 0 + u}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + u}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- u$ und $u$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h + 0}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $h^{2} + 2 h u - h$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h}{h}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + 2 h u - h$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$\frac{h \cdot h + 2 h u - h}{h}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h u$ heraus.

$\frac{h (h) + h (2 u) - h}{h}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere $h$ aus $- h$ heraus.

$\frac{h (h) + h (2 u) + h \cdot - 1}{h}$

Schritt 4.1.7.4

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (2 u)$ heraus.

$\frac{h (h + 2 u) + h \cdot - 1}{h}$

Schritt 4.1.7.5

Faktorisiere $h$ aus $h (h + 2 u) + h \cdot - 1$ heraus.

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $h + 2 u - 1$ durch $1$ .

$h + 2 u - 1$

Schritt 4.2.2

Stelle $h$ und $2 u$ um.

$2 u + h - 1$

Schritt 5