Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{2}{x^{2} - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x^{2} - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1)} - \frac{2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{2} - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{(x^{2} - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 1) (x - 1)$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 - 2 (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1 - 2 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 2 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 2 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} 2 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 2 (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 2 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 - 2 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 - 2 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 2.1.3.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.8.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Schritt 2.1.3.8.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.8.5

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.8.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 - 2 (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 - 2 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 - 2 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1 - 2 (x - 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 (x - 1)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 (x - 1)]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 (x - 1)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 - 2 (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 - 2 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.11

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 \cdot (x - 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x - 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Schritt 2.3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x - 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Schritt 2.3.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x - 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)}$

Schritt 2.3.16

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x - 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Schritt 2.3.17

Mutltipliziere $x^{2} - 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x - 1) x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.18

Vereinfache.

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Schritt 2.3.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(2 x + 2 \cdot - 1) x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.18.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.18.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.6

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1}$

Schritt 3.1.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 3.1.3.7.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 2 x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.3.8.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 2 + 0}$

Schritt 3.3.10

Addiere $6 x - 2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 2}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6 x - 2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{6 x - 2}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x) - 2}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x - 1)}$

Schritt 3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x - 1)}$

Schritt 3.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x - 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 1}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 1}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 - 1}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$