Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (x)}{\csc (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosekans stetig ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\csc (\frac{π}{2})}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{\csc (\frac{π}{2})}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$