Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6}{a + h} - \frac{6}{a}}{h}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{6}{a + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6}{a + h} \cdot \frac{a}{a} - \frac{6}{a}}{h}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{6}{a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + h}{a + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6}{a + h} \cdot \frac{a}{a} - \frac{6}{a} \cdot \frac{a + h}{a + h}}{h}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + h) a$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{6}{a + h}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 a}{(a + h) a} - \frac{6}{a} \cdot \frac{a + h}{a + h}}{h}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{6}{a}$ mit $\frac{a + h}{a + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 a}{(a + h) a} - \frac{6 (a + h)}{a (a + h)}}{h}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(a + h) a$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 a}{a (a + h)} - \frac{6 (a + h)}{a (a + h)}}{h}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 a - 6 (a + h)}{a (a + h)}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{6 a - 6 (a + h)}{a (a + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{6 a - 6 (a + h)}{a (a + h)}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 a - 6 (a + h)}{a (a + h) h}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{a}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{6 a - 6 (a + h)}{(a + h) h}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 6 a - 6 (a + h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 6 a - lim_{h \to 0} 6 (a + h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Schritt 3.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $6 a$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - lim_{h \to 0} 6 (a + h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Schritt 3.1.2.1.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 lim_{h \to 0} a + h}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Schritt 3.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 (lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Schritt 3.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 (a + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 (a + 0)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Schritt 3.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 a - 6 (a + 0)$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 a}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $6 a$ von $6 a$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} a + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 3.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 3.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{(a + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 3.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{(a + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 3.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{(a + 0) \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.5.1

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{a \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.5.2

Mutltipliziere $a$ mit $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{6 a - 6 (a + h)}{(a + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [6 a - 6 (a + h)]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [6 a - 6 (a + h)]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 a - 6 (a + h)$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [6 a] + \frac{d}{d h} [- 6 (a + h)]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [6 a] + \frac{d}{d h} [- 6 (a + h)]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.3

Da $6 a$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $6 a$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 6 (a + h)]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d h} [- 6 (a + h)]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 6 (a + h)$ nach $h$ gleich $- 6 \frac{d}{d h} [a + h]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \frac{d}{d h} [a + h]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [a] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 (\frac{d}{d h} [a] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.4.3

Da $a$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.4.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.4.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.5

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ gleich $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ist mit $f (h) = a + h$ und $g (h) = h$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{(a + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [a + h]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{(a + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [a + h]}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $a + h$ mit $1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h \frac{d}{d h} [a + h]}$

Schritt 3.3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [a] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h (\frac{d}{d h} [a] + \frac{d}{d h} [h])}$

Schritt 3.3.10

Da $a$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Schritt 3.3.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h \cdot 1}$

Schritt 3.3.13

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h}$

Schritt 3.3.14

Addiere $h$ und $h$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + 2 h}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $- 6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{a} \cdot - 6 lim_{h \to 0} \frac{1}{a + 2 h}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} a + 2 h}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{lim_{h \to 0} a + 2 h}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} 2 h}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{a + lim_{h \to 0} 2 h}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{a + 2 lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{a + 2 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{a}$ und $- 6$ .

$\frac{- 6}{a} \cdot \frac{1}{a + 2 \cdot 0}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a + 2 \cdot 0}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a + 0}$

Schritt 6.3.2

Addiere $a$ und $0$ .

$- \frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a}$

Schritt 6.4

Multipliziere $- \frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a}$ .

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{a}$ mit $\frac{6}{a}$ .

$- \frac{6}{a \cdot a}$

Schritt 6.4.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$- \frac{6}{a^{1} a}$

Schritt 6.4.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$- \frac{6}{a^{1} a^{1}}$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6}{a^{1 + 1}}$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{6}{a^{2}}$