Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} 5 x^{3} + 2 x^{2} h - x h^{2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 5 x^{3} + lim_{h \to 0} 2 x^{2} h - lim_{h \to 0} x h^{2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $5 x^{3}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$5 x^{3} + lim_{h \to 0} 2 x^{2} h - lim_{h \to 0} x h^{2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2 x^{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$5 x^{3} + 2 x^{2} lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x h^{2}$

Schritt 4

Ziehe den Term $x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$5 x^{3} + 2 x^{2} lim_{h \to 0} h - x lim_{h \to 0} h^{2}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 x^{3} + 2 x^{2} lim_{h \to 0} h - x {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$5 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 0 - x {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$5 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 0 - x \cdot 0^{2}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $2 x^{2} \cdot 0$ .

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Schritt 7.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$5 x^{3} + 0 x^{2} - x \cdot 0^{2}$

Schritt 7.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 0 - x \cdot 0^{2}$

Schritt 7.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 x^{3} + 0 - x \cdot 0$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $- x \cdot 0$ .

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Schritt 7.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$5 x^{3} + 0 + 0 x$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$5 x^{3} + 0 + 0$

Schritt 7.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x^{3} + 0 + 0$ .

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Schritt 7.2.1

Addiere $5 x^{3}$ und $0$ .

$5 x^{3} + 0$

Schritt 7.2.2

Addiere $5 x^{3}$ und $0$ .

$5 x^{3}$