Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 2)}^{2} - 4}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} {(h - 2)}^{2} - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} {(h - 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(h - 2)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{{(0 - 1 \cdot 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(0 - 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 2)}^{2} - 4}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 2)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 2)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Schreibe ${(h - 2)}^{2}$ als $(h - 2) (h - 2)$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(h - 2) (h - 2) - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere $(h - 2) (h - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h (h - 2) - 2 (h - 2) - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 (h - 2) - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 h - 2 \cdot - 2 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} + h \cdot - 2 - 2 h - 2 \cdot - 2 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 2 \cdot h - 2 h - 2 \cdot - 2 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 2 h - 2 h + 4 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.2

Subtrahiere $2 h$ von $- 2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 4 h + 4 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $h^{2} - 4 h + 4 - 4$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d h} [- 4 h]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 4 h$ nach $h$ gleich $- 4 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.8

Da $4$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + 0 + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.10

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.10.1

Addiere $2 h - 4$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.10.2

Addiere $2 h - 4$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $2 h - 4$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - 4$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 4$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 4$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 4$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 - 1 \cdot 4$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$0 - 4$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$