Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{x + \tan (4 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (4 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (4 x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (4 x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (4 x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (4 x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (4 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (4 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.1.3.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{x + \tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (4 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x + \tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x + \tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \tan (4 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{1 + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.3.9.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{1 + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 1.3.9.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{1 + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 1.3.9.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{1 + \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 1.3.9.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{1 + \sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 1.3.9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{1 + \sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.9.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{1 + \sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

Schritt 1.3.9.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{1 + 4 \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{1 + 4 \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 + 4 \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 + 4 \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + 4 \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{1 + lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{1 + 4 lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 2.8

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (4 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{1 + 4 {(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

Schritt 2.9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{1 + 4 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 2.10

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{1 + 4 \sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{1 + 4 \sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{1 + 4 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 \frac{\cos (0)}{1 + 4 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$3 \frac{1}{1 + 4 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$3 \frac{1}{1 + 4 \sec^{2} (0)}$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$3 \frac{1}{1 + 4 \cdot 1^{2}}$

Schritt 4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \frac{1}{1 + 4 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$3 \frac{1}{1 + 4}$

Schritt 4.2.5

Addiere $1$ und $4$ .

$3 (\frac{1}{5})$

Schritt 4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{5}$

Dezimalform:

$0.6$