Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(a - h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $5 a^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.7.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.7.2.1

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{5 a^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.7.2.2

Subtrahiere $5 a^{2}$ von $5 a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Schreibe ${(a - h)}^{2}$ als $(a - h) (a - h)$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 ((a - h) (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere $(a - h) (a - h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a (a - h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.4

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1.4.1

Bewege $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.4.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.1.6

Mutltipliziere $h^{2}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.2

Subtrahiere $h a$ von $- a h$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Bewege $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - 1 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4.2.2

Subtrahiere $a h$ von $- a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Berechne $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})]$ .

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Schritt 1.3.6.1

Da $5$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})$ nach $h$ gleich $5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{2} - 2 a h + h^{2}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6.3

Da $a^{2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $a^{2}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6.4

Da $- 2 a$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 2 a h$ nach $h$ gleich $- 2 a \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6.8

Subtrahiere $2 a$ von $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.7

Da $- 5 a^{2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 5 a^{2}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.8

Vereinfache.

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Schritt 1.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a) + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.8.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.8.2.3

Addiere $- 10 a + 10 h$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $- 10 a + 10 h$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} - 10 a + 10 h$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- lim_{h \to 0} 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $10 a$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- 10 a + 10 lim_{h \to 0} h$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 10 a + 10 \cdot 0$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$- 10 a + 0$

Schritt 4.2

Addiere $- 10 a$ und $0$ .

$- 10 a$