Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (x)}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $0$ und $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x)$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (2 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sin (2 \cdot 0)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\sin (0)$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0$