Analysis Beispiele

$5 \sqrt{x^{5}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ als $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{5}$ als ${(x^{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus.

$\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{4} x}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [5 x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Schritt 3.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 11

Kombiniere $5$ und $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Schritt 12

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$