Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (x + h) - \tan (x)}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (x + h) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (x + h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\tan (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $\tan (x)$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\tan (x + lim_{h \to 0} h) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\tan (x + 0) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan (x + 0) - \tan (x)$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $\tan (x)$ von $\tan (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (x + h) - \tan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h) - \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h) - \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x + h) - \tan (x)$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\tan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [\tan (x + h)]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \tan (h)$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $\sec^{2} (x + h)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Da $- \tan (x)$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $\sec^{2} (x + h)$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.2

Schreibe $\sec (x + h)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x + h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x + h)}$ an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (x + h)} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (x + h)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x + h)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + 0)}$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + 0)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x + 0)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (x + 0)})}^{2}$

Schritt 4.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x + 0)}$ nach $\sec (x + 0)$ um.

$\sec^{2} (x + 0)$

Schritt 4.4

Addiere $x$ und $0$ .

$\sec^{2} (x)$