Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{- 3} - 2^{- 3}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.1.1

Wandle negative Exponenten in Brüche um.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - 2^{- 3}}{h}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

Schritt 1.1.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.1

Um $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

Schritt 1.1.2.2

Um $- \frac{1}{2^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ mit $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2^{3}}$ mit $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.1.2.3.3

Stelle die Faktoren von ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2^{3}}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $2^{3}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(2 + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 2^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.3.2

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(2 + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 2.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{2^{3} \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.6.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{8 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.6.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8 - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - {(2 + h)}^{3}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.4

Da $8$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- {(2 + h)}^{3}$ nach $h$ gleich $- \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{3}$ und $g (h) = 2 + h$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5.4

Da $2$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5.6

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.5.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.6

Subtrahiere $3 {(2 + h)}^{2}$ von $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ gleich $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ist mit $f (h) = {(2 + h)}^{3}$ und $g (h) = h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere ${(2 + h)}^{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Schritt 2.3.10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{3}$ und $g (h) = 2 + h$ .

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Schritt 2.3.10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Schritt 2.3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Schritt 2.3.10.3

Ersetze alle $u$ durch $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Schritt 2.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}$

Schritt 2.3.12

Da $2$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Schritt 2.3.13

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

Schritt 2.3.16

Vereinfache.

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Schritt 2.3.16.1

Faktorisiere ${(2 + h)}^{2}$ aus ${(2 + h)}^{3} + h (3 {(2 + h)}^{2})$ heraus.

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Schritt 2.3.16.1.1

Faktorisiere ${(2 + h)}^{2}$ aus ${(2 + h)}^{3}$ heraus.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

Schritt 2.3.16.1.2

Faktorisiere ${(2 + h)}^{2}$ aus $h (3 {(2 + h)}^{2})$ heraus.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} h \cdot 3}$

Schritt 2.3.16.1.3

Faktorisiere ${(2 + h)}^{2}$ aus ${(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} (h \cdot (3))$ heraus.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + h \cdot (3))}$

Schritt 2.3.16.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.16.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + 3 \cdot h)}$

Schritt 2.3.16.2.2

Addiere $h$ und $3 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + 4 h)}$

Schritt 2.3.16.3

Schreibe ${(2 + h)}^{2}$ als $(2 + h) (2 + h)$ um.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 + h) (2 + h) (2 + 4 h)}$

Schritt 2.3.16.4

Multipliziere $(2 + h) (2 + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.16.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 (2 + h) + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

Schritt 2.3.16.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

Schritt 2.3.16.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Schritt 2.3.16.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.16.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.16.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Schritt 2.3.16.5.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Schritt 2.3.16.5.1.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

Schritt 2.3.16.5.2

Addiere $2 h$ und $2 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

Schritt 2.3.16.6

Multipliziere $(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{4 \cdot 2 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Schritt 2.3.16.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.16.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Schritt 2.3.16.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Schritt 2.3.16.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Schritt 2.3.16.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h \cdot h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Schritt 2.3.16.7.5

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Schritt 2.3.16.7.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Schritt 2.3.16.7.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 \cdot h^{2} + h^{2} \cdot 4 h}$

Schritt 2.3.16.7.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{2} h}$

Schritt 2.3.16.7.9

Multipliziere $h^{2}$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.16.7.9.1

Bewege $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h \cdot h^{2}}$

Schritt 2.3.16.7.9.2

Mutltipliziere $h$ mit $h^{2}$ .

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Schritt 2.3.16.7.9.2.1

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1} h^{2}}$

Schritt 2.3.16.7.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1 + 2}}$

Schritt 2.3.16.7.9.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

Schritt 2.3.16.8

Addiere $16 h$ und $8 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

Schritt 2.3.16.9

Addiere $16 h^{2}$ und $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Schritt 3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(2 + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Schritt 3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Schritt 3.8

Ziehe den Term $24$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Schritt 3.9

Ziehe den Term $18$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Schritt 3.10

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Schritt 3.11

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0} h^{3}}$

Schritt 3.12

Ziehe den Exponenten $3$ von $h^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{2^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 5.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $24$ mit $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 5.5.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $18$ mit $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 5.5.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 5.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 0}$

Schritt 5.5.6

Addiere $8 + 0 + 0$ und $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0}$

Schritt 5.5.7

Addiere $8 + 0$ und $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0}$

Schritt 5.5.8

Addiere $8$ und $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{8}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{- 3}{4 (2)} \cdot \frac{4}{8}$

Schritt 5.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3}{4 \cdot 2} \cdot \frac{4}{8}$

Schritt 5.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $\frac{- 3}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\frac{- 3}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{- 3}{16}$

Schritt 5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{16}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3}{16}$

Dezimalform:

$- 0.1875$