Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(1 + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(1 + h)}^{3} - 1$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{3}$ und $g (h) = 1 + h$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $3 {(1 + h)}^{2}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.2

Schreibe ${(1 + h)}^{2}$ als $(1 + h) (1 + h)$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{3 ((1 + h) (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.3

Multipliziere $(1 + h) (1 + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 (1 + h) + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.4.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.4.1.3

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.4.1.4

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.4.2

Addiere $h$ und $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 2 h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 1 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.6

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $3 + 6 h + 3 h^{2}$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 + 6 h + 3 h^{2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2}$

Schritt 2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$3 + 6 \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$3 + 6 \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$3 + 0 + 3 \cdot 0^{2}$

Schritt 4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 + 0 + 3 \cdot 0$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 + 0 + 0$

Schritt 4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3 + 0$

Schritt 4.3

Addiere $3$ und $0$ .

$3$