Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 5 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 1.1.2.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (4 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 5 x}{\sin (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 1.3.5.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 1.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 1.3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) (4 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) \cdot 4}$

Schritt 1.3.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{4 \cos (4 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 5}{\cos (0)}$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 5}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 5$

Schritt 4.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 5$ .

$\frac{- 5}{4}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5}{4}$

Dezimalform:

$- 1.25$