Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ als $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Schritt 4

Schreibe $x \ln (\frac{x + 1}{x})$ als $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.5.2.1

Dividiere $1 + 0$ durch $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.2.5.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.1.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x + 1}{x}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 1}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.5

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.10

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.13

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 1}$ mit $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.14.1

Faktorisiere $x$ aus $(x + 1) x^{2}$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.14.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15

Vereinfache.

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Schritt 5.3.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.15.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.3.2

Subtrahiere $1 \cdot 1$ von $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.4

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.15.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.4.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 5.3.15.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.15.5.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.16

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Schritt 5.3.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Schritt 5.3.18

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Schritt 5.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x (x + 1)}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Schritt 5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{x (x + 1)}$ und $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Schritt 9.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$e^{1}$

Schritt 10

Vereinfache.

$e$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e$

Dezimalform:

$2.71828182 \dots$