Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + h)}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (1 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} 1 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (1 + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + h)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (1 + h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (1 + h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \ln (h)$ und $g (h) = 1 + h$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d h} [1 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d h} [1 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} \frac{d}{d h} [1 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + h}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.8

Stelle die Terme um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 1}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 1}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 1} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{h + 1}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h + 1}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 1}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$