Analysis Beispiele

$lim_{k \to 8} {(1 - \frac{1}{k})}^{k}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k}{k} - \frac{1}{k})}^{k}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k - 1}{k})}^{k}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\frac{k - 1}{k})}^{k}$ als $e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$ um.

$lim_{k \to 8} e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})$ durch Herausziehen von $k$ aus dem Logarithmus.

$lim_{k \to 8} e^{k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{k \to 8} k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $k$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} \frac{k - 1}{k})}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $k$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $k$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - lim_{k \to 8} 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Schritt 3.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $k$ sich $8$ annähert.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $k$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $k$ durch Einsetzen von $8$ für $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $k$ durch Einsetzen von $8$ für $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $k$ durch Einsetzen von $8$ für $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8})}$

Schritt 5.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(\frac{8 - 1}{8})}^{8}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

${(\frac{7}{8})}^{8}$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{8}$ an.

$\frac{7^{8}}{8^{8}}$

Schritt 5.5

Potenziere $7$ mit $8$ .

$\frac{5764801}{8^{8}}$

Schritt 5.6

Potenziere $8$ mit $8$ .

$\frac{5764801}{16777216}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5764801}{16777216}$

Dezimalform:

$0.34360891 \dots$