Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{n}{n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $n^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Schritt 4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Schritt 6

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $8 i$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{8}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Schritt 8.4

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i$ .

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{8 (1)}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Schritt 9.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8^{3}$ heraus.

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Schritt 9.1.2.2

Faktorisiere $8$ aus $6 \cdot 8^{2}$ heraus.

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Schritt 9.1.2.3

Faktorisiere $8$ aus $8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8)$ heraus.

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Schritt 9.1.2.4

Faktorisiere $8$ aus $- 12 \cdot 8$ heraus.

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12 - 8 i}$

Schritt 9.1.2.5

Faktorisiere $8$ aus $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12$ heraus.

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) - 8 i}$

Schritt 9.1.2.6

Faktorisiere $8$ aus $- 8 i$ heraus.

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)}$

Schritt 9.1.2.7

Faktorisiere $8$ aus $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)$ heraus.

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Schritt 9.1.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Schritt 9.1.2.9

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{100 - i}$ mit der Konjugierten von $100 - i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{1}{100 - i} \cdot \frac{100 + i}{100 + i}$

Schritt 9.3

Multipliziere.

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Schritt 9.3.1

Kombinieren.

$\frac{1 (100 + i)}{(100 - i) (100 + i)}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $100 + i$ mit $1$ .

$\frac{100 + i}{(100 - i) (100 + i)}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Multipliziere $(100 - i) (100 + i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100 + i}{100 (100 + i) - i (100 + i)}$

Schritt 9.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i (100 + i)}$

Schritt 9.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Schritt 9.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.3.2.1

Mutltipliziere $100$ mit $100$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Schritt 9.3.3.2.2

Mutltipliziere $100$ mit $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i i}$

Schritt 9.3.3.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i)}$

Schritt 9.3.3.2.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i^{1})}$

Schritt 9.3.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{2}}$

Schritt 9.3.3.2.7

Subtrahiere $100 i$ von $100 i$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 0 - i^{2}}$

Schritt 9.3.3.2.8

Addiere $10000$ und $0$ .

$\frac{100 + i}{10000 - i^{2}}$

Schritt 9.3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{100 + i}{10000 - - 1}$

Schritt 9.3.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 1}$

Schritt 9.3.3.4

Addiere $10000$ und $1$ .

$\frac{100 + i}{10001}$

Schritt 9.4

Zerlege den Bruch $\frac{100 + i}{10001}$ in zwei Brüche.

$\frac{100}{10001} + \frac{i}{10001}$