Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x)}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4})}{\frac{π}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{4}{π}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{π}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 (2)}{π}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{π}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2} \frac{2}{π}$

Schritt 4.4

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{π}$

Schritt 4.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{π}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{2}}{π}$

Dezimalform:

$0.90031631 \dots$