Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{4 x}{\tan (x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{x}{\tan (x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$4 \frac{\frac{π}{4}}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$4 \frac{\frac{π}{4}}{\tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Separiere Brüche.

$4 (\frac{\frac{π}{4}}{1} \cdot \frac{1}{\tan (\frac{π}{4})})$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (\frac{π}{4})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$4 (\frac{\frac{π}{4}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4})}})$

Schritt 5.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4})}$ zu dividieren.

$4 (\frac{\frac{π}{4}}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4})})$

Schritt 5.4

Wandle von $\frac{\cos (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4})}$ nach $\cot (\frac{π}{4})$ um.

$4 (\frac{\frac{π}{4}}{1} \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 5.5

Dividiere $\frac{π}{4}$ durch $1$ .

$4 (\frac{π}{4} \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 5.6

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$4 (\frac{π}{4} \cdot 1)$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $1$ .

$4 \frac{π}{4}$

Schritt 5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{π}{4}$

Schritt 5.8.2

Forme den Ausdruck um.

$π$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$π$

Dezimalform:

$3.14159265 \dots$