Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.5.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.5.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Schritt 1.1.3.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.5.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{1}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.2.4.2.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Schritt 4.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (\frac{π}{2})}$

Schritt 4.3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Schritt 4.5

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$- 0.70710678 \dots$