Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\cos (π \sin (x))) + \sin (π \cos (x))$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Schritt 3

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\cos (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \cos (x))$

Schritt 6

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\cos (π \cdot 1) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\cos (π) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 9.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \cos (0) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 9.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 9.1.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 1 + \sin (π \cdot 0)$

Schritt 9.1.7

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$- 1 + \sin (0)$

Schritt 9.1.8

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 1 + 0$

Schritt 9.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$- 1$