Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Schritt 2.1.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$2 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 3.1.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Schritt 3.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Schritt 3.1.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{0}{π - π}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \cdot 2 - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.5

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Schritt 3.3.6

Addiere $2$ und $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$