Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $4 a$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $a^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.7

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{a}{2}$ an.

$\frac{4 \frac{a^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 \frac{a^{2}}{4} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.9.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \frac{a^{2}}{4} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{a^{2} - 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.9.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 a$ heraus.

$\frac{a^{2} + 2 (- 2 a) \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} + 2 (- 2 a) \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} - 2 a \cdot a + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.6

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 (a^{1} a) + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.7

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 (a^{1} a^{1}) + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} - 2 a^{1 + 1} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.9.1.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.1.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{2} - 2 a^{2} + a + a^{2} - a$ .

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Schritt 1.1.2.9.2.1

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a^{2} + 0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.2.2

Addiere $a^{2} - 2 a^{2} + a^{2}$ und $0$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a^{2}}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.3

Subtrahiere $2 a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{- a^{2} + a^{2}}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.2.9.4

Addiere $- a^{2}$ und $a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $a^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{a}{2})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{a}{2})}^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.8.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{a}{2}$ an.

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{2^{2}} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3.8.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{4} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3.8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.3.8.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{4} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3.8.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{a^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3.8.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.8.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{a^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3.8.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{a^{2} + a - a^{2} - a}$

Schritt 1.1.3.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{2} + a - a^{2} - a$ .

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Schritt 1.1.3.8.2.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{0}{a + 0 - a}$

Schritt 1.1.3.8.2.2

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{0}{a - a}$

Schritt 1.1.3.8.2.3

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8.2.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a} = lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 a x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 4 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 a x$ nach $x$ gleich $- 4 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.6

Da $a^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.7

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.8

Vereinfache.

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Schritt 1.3.8.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.8.1.1

Addiere $8 x - 4 a + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.8.1.2

Addiere $8 x - 4 a + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.8.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Schritt 1.3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.10

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.10.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.11

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.11.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.11.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.12

Da $- a^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.13

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0 + 0}$

Schritt 1.3.14

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.14.1

Addiere $8 x + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0}$

Schritt 1.3.14.2

Addiere $8 x + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4 a + 8 x + 2$ und $8 x + 2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 a$ heraus.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a) + 8 x + 2}{8 x + 2}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a) + 2 (4 x) + 2}{8 x + 2}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 a) + 2 (4 x)$ heraus.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x) + 2}{8 x + 2}$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x) + 2 \cdot 1}{8 x + 2}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 a + 4 x) + 2 (1)$ heraus.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{8 x + 2}$

Schritt 1.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x) + 2}$

Schritt 1.4.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x) + 2 (1)}$

Schritt 1.4.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (1)$ heraus.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x + 1)}$

Schritt 1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x + 1)}$

Schritt 1.4.6.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 2 a + 4 x + 1}{4 x + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} - 2 a + 4 x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 a + lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $2 a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{- 2 a + lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{a}{2}$ annähert.

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 \frac{a}{2} + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{a}{2}$ für $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- 2 a + 2 (2) \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 a + 2 \cdot 2 \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Schritt 4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 a + 2 a + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Schritt 4.1.2

Addiere $- 2 a$ und $2 a$ .

$\frac{0 + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Schritt 4.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 (2) \frac{a}{2} + 1}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2 \frac{a}{2} + 1}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 a + 1}$