Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2} + x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{8}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{8}{x^{2} + x}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{8}{x^{2} + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{8}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x^{2} + x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{x}$ mit $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)} - \frac{8}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{8}{x^{2} + x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)} - \frac{8 x}{(x^{2} + x) x}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} + x) x$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)} - \frac{8 x}{x (x^{2} + x)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x) - 8 x}{x (x^{2} + x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 (x^{2} + x) - 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 (x^{2} + x) - lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to 0} x^{2} + x - lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{8 (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.5

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x) - 8 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{8 (0^{2} + lim_{x \to 0} x) - 8 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{8 (0^{2} + 0) - 8 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{8 (0^{2} + 0) - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{8 (0 + 0) - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.7.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.2.7.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0^{2} + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0^{2} + 0)}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Schritt 2.1.3.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.5.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x) - 8 x}{x (x^{2} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x) - 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x) - 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 (x^{2} + x) - 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x)]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 (x^{2} + x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + 1) + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + 1) - 8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + 1) - 8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + 1) - 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x) + 8 \cdot 1 - 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x + 8 \cdot 1 - 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x + 8 - 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.5.2.3

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.5.2.4

Addiere $16 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x \frac{d}{d x} [x^{2} + x] + (x^{2} + x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x + \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x + 1) + (x^{2} + x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x + 1) + (x^{2} + x) \cdot 1}$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $x^{2} + x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x + 1) + x^{2} + x}$

Schritt 2.3.12

Vereinfache.

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Schritt 2.3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x) + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Schritt 2.3.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.12.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 (x^{1} x) + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Schritt 2.3.12.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Schritt 2.3.12.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 x^{1 + 1} + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Schritt 2.3.12.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 x^{2} + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Schritt 2.3.12.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 x^{2} + x + x^{2} + x}$

Schritt 2.3.12.2.6

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{3 x^{2} + x + x}$

Schritt 2.3.12.2.7

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$16 lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$16 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$16 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$16 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Schritt 4.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$16 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Schritt 4.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$16 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Schritt 4.1.3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$16 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$16 \frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$16 \frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$16 \frac{0}{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$16 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$16 \frac{0}{0 + 0}$

Schritt 4.1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$16 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$16 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$16 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$16 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$16 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 4.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 4.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 4.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 4.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{6 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 4.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.3.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{6 x + 2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{6 x + 2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$16 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x + 2}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$16 \frac{1}{lim_{x \to 0} 6 x + 2}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$16 \frac{1}{lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 2}$

Schritt 5.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$16 \frac{1}{6 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$16 \frac{1}{6 lim_{x \to 0} x + 2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$16 \frac{1}{6 \cdot 0 + 2}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$16 \frac{1}{0 + 2}$

Schritt 7.1.2

Addiere $0$ und $2$ .

$16 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 (8) \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 8 \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8$