Analysis Beispiele

$lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + 3$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\sqrt{2}$ annähert.

$lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\sqrt{2}$ annähert.

${(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\sqrt{2}$ für $x$ .

${\sqrt{2}}^{2} + 3$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} + 3$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} + 3$

Schritt 3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} + 3$

Schritt 3.1.5

Berechne den Exponenten.

$2 + 3$

Schritt 3.2

Addiere $2$ und $3$ .

$5$