Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x - \frac{π}{6}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6 - π}{6}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \frac{π}{6}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{-}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ zeigt, wenn sich $x$ von links $\frac{π}{6}$ annähert.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.42359877 & 0.88956192 \\ 0.51359877 & 0.86851094 \\ 0.52259877 & 0.86627525 \\ 0.52349877 & 0.8660504 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $\frac{π}{6}$ nähern sich die Funktionswerte $0.866$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ für $x$ gegen $\frac{π}{6}$ gleich $0.866$ .

$0.866$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{+}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $\frac{π}{6}$ annähert.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.62359877 & 0.83960357 \\ 0.53359877 & 0.86351099 \\ 0.52459877 & 0.86577525 \\ 0.52369877 & 0.8660004 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $\frac{π}{6}$ nähern sich die Funktionswerte $0.866$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ für $x$ gegen $\frac{π}{6}$ gleich $0.866$ .

$0.866$