Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 5 x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.7.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3^{2}$ heraus.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.1.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 + \frac{1 + 5}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.3

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{- 2 + \frac{6}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.4

Dividiere $6$ durch $3$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.2.7.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.6.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{6 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{0}{6 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.3.6.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{0}{3 (2) \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{2 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.1.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1}$

Schritt 1.1.3.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0}{- 1 + \frac{2 + 1}{3}}$

Schritt 1.1.3.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{0}{- 1 + \frac{3}{3}}$

Schritt 1.1.3.6.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Schritt 1.1.3.6.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 5 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $6 x + 5$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + 0}$

Schritt 1.3.11

Addiere $12 x + 1$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (2) \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Schritt 4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Schritt 4.1.2

Addiere $2$ und $5$ .

$\frac{7}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{7}{3 (4) \frac{1}{3} + 1}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{3 \cdot 4 \frac{1}{3} + 1}$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{4 + 1}$

Schritt 4.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{7}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7}{5}$

Dezimalform:

$1.4$