Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{(\frac{x}{(x + 1)}) - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

Schritt 1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um $\frac{x}{(x + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

Schritt 1.2

Um $- (\frac{4}{5})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) \cdot 5$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{(x + 1)}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 1) \cdot 5$ um.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{5 (x + 1)} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}$ mit $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.7.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.7.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 \cdot 5}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 20}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.7.2

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} x + 1 \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 3.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 3.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 3.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Schritt 3.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Schritt 3.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Schritt 3.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.7.1

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Schritt 3.1.3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 4)}$

Schritt 3.1.3.7.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.7.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \cdot 5 - 4 (x + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cdot 5]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 (x + 1)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.4.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.4.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.4.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.5

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 3.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 3.3.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 3.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 3.3.11

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 3.3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Schritt 3.3.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + 0)}$

Schritt 3.3.15

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \cdot 1}$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $x - 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + x - 4}$

Schritt 3.3.17

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x + 1 - 4}$

Schritt 3.3.18

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x - 3}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 3}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 3}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 1 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 3}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 6.2

Multipliziere $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 5}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{25}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{25}$

Dezimalform:

$0.04$