Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} - 2 x^{2} - 5}{5 x - 3 x^{2} - 12 x^{3}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{- 2}{x} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.4.2

Dividiere $- 12$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{6 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} 12}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} 12}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} 12}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 12}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 12}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{6 + 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{6 + 0 + 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.2.1.3

Addiere $6 + 0$ und $0$ .

$\frac{6 + 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.2.1.4

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{6}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{6}{0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.2.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{6}{0 + 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{6}{0 + 0 - 12}$

Schritt 10.2.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{6}{0 - 12}$

Schritt 10.2.2.5

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$\frac{6}{- 12}$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 12$ .

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Schritt 10.2.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (1)}{- 12}$

Schritt 10.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot - 2}$

Schritt 10.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot - 2}$

Schritt 10.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 2}$

Schritt 10.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$