Analysis Beispiele

$lim_{t \to 8} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{7 t - t^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 8} \sqrt{t} + t^{2}}{lim_{t \to 8} 7 t - t^{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 8} \sqrt{t} + lim_{t \to 8} t^{2}}{lim_{t \to 8} 7 t - t^{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + lim_{t \to 8} t^{2}}{lim_{t \to 8} 7 t - t^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{lim_{t \to 8} 7 t - t^{2}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{lim_{t \to 8} 7 t - lim_{t \to 8} t^{2}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{7 lim_{t \to 8} t - lim_{t \to 8} t^{2}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{7 lim_{t \to 8} t - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $t$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $8$ für $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{7 lim_{t \to 8} t - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $8$ für $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + 8^{2}}{7 lim_{t \to 8} t - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $8$ für $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + 8^{2}}{7 \cdot 8 - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Schritt 8.4

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $8$ für $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + 8^{2}}{7 \cdot 8 - 8^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 8^{2}}{7 \cdot 8 - 8^{2}}$

Schritt 9.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{2}}{7 \cdot 8 - 8^{2}}$

Schritt 9.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2} + 8^{2}}{7 \cdot 8 - 8^{2}}$

Schritt 9.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{7 \cdot 8 - 8^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{56 - 8^{2}}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{56 - 1 \cdot 64}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{56 - 64}$

Schritt 9.2.4

Subtrahiere $64$ von $56$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{- 8}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 64$ und $- 8$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 64}{- 8}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \cdot 32}{- 8}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2} + 2 \cdot 32$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 32)}{- 8}$

Schritt 9.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 32)}{2 (- 4)}$

Schritt 9.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 32)}{2 \cdot - 4}$

Schritt 9.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} + 32}{- 4}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{2} + 32}{4}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2} + 32}{4}$

Dezimalform:

$- 8.35355339 \dots$