Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} e^{x}$ als $\frac{x^{2}}{e^{- x}}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 2.1.2

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 2.1.3

Da der Exponent $- x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \cdot - 1}$

Schritt 2.3.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Schritt 2.3.8

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x}}$

Schritt 2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{e^{- x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x}}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 4.1.2

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

$- 2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 4.1.3

Da der Exponent $- x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- x}$ $\infty$ an.

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 4.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Schritt 4.3.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Schritt 4.3.8

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Schritt 4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{- x}}$ $0$ .

$- 2 \cdot - 1 \cdot 0$

Schritt 7

Multipliziere $- 2 \cdot - 1 \cdot 0$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0$