Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} n \sin (\frac{π}{2 n})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{π}{2 n})$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$lim_{n \to 8} n \cdot \sin (lim_{n \to 8} \frac{π}{2 n})$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{π}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$lim_{n \to 8} n \cdot \sin (\frac{π}{2} lim_{n \to 8} \frac{1}{n})$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$lim_{n \to 8} n \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$lim_{n \to 8} n \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n})$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n})$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{8})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{2 \cdot 8})$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{16})$

Schritt 7.2

Berechne $\sin (\frac{π}{16})$ .

$8 \cdot 0.19509032$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $8$ mit $0.19509032$ .

$1.56072257$