Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (4 t)}{\sin (2 t)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (4 t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}}{\sin (2 t)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}}{\sin (2 t)}$ als ein Produkt um.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wandle von $\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}$ nach $\tan (4 t)$ um.

$lim_{t \to 0} \tan (4 t) \frac{1}{\sin (2 t)}$

Schritt 1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 t)}$ nach $\csc (2 t)$ um.

$lim_{t \to 0} \tan (4 t) \csc (2 t)$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{t \to 0^{-}} \tan (4 t) \csc (2 t)$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (4 t) \csc (2 t)$ zeigt, wenn sich $t$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} t & \tan (4 t) \csc (2 t) \\ - 0.1 & 2.12812524 \\ - 0.01 & 2.00120076 \\ - 0.001 & 2.000012 \\ - 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $t$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $2$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\tan (4 t) \csc (2 t)$ für $t$ gegen $0$ gleich $2$ .

$2$

Schritt 5

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{t \to 0^{+}} \tan (4 t) \csc (2 t)$

Schritt 6

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (4 t) \csc (2 t)$ zeigt, wenn sich $t$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} t & \tan (4 t) \csc (2 t) \\ 0.1 & 2.12812524 \\ 0.01 & 2.00120076 \\ 0.001 & 2.000012 \\ 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Schritt 7

Mit Annäherung der $t$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $2$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\tan (4 t) \csc (2 t)$ für $t$ gegen $0$ gleich $2$ .

$2$