Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $7$ von $t^{7}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{7}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{0^{7}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{t} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $e^{t}$ und $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{7 t^{6}}$

Schritt 2

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $7 t^{6}$ für $t$ auf beiden Seiten nahe $0$ gegen Null geht und größer als Null ist, steigt die Funktion ohne Schranke an.

$\infty$