Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{\sin (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 1.1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.4.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = 4 t$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Schritt 1.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \cdot 4}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Schritt 1.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 t)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = \cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 1.3.8

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \cdot 1}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t)}$

Schritt 1.3.11

Stelle die Terme um.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$4 lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$4 \frac{lim_{t \to 0} \cos (4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$4 \frac{\cos (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Schritt 2.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$4 \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Schritt 4.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (0)}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$4 \frac{1}{0 + \cos (0)}$

Schritt 4.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Schritt 4.2.4

Addiere $0$ und $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 1$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$