Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1}}{\sqrt{8 + 2}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8 + 2}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{8 + 2}}$

Schritt 9.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{\sqrt{8 + 2}}$

Schritt 9.2

Addiere $8$ und $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 9.4.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 9.4.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 9.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 9.4.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 9.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 9.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Dezimalform:

$0.94868329 \dots$