Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{3}}{n^{2} + 4 n}$

Schritt 1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$2 lim_{n \to 8} \frac{n^{3}}{n^{2} + 4 n}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$2 \frac{lim_{n \to 8} n^{3}}{lim_{n \to 8} n^{2} + 4 n}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $n^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{2} + 4 n}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n}$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$2 \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$2 \frac{8^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$2 \frac{8^{3}}{8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$2 \frac{8^{3}}{8^{2} + 4 \cdot 8}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$2 \frac{512}{8^{2} + 4 \cdot 8}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$2 \frac{512}{64 + 4 \cdot 8}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$2 \frac{512}{64 + 32}$

Schritt 8.2.3

Addiere $64$ und $32$ .

$2 (\frac{512}{96})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $96$ heraus.

$2 \frac{512}{2 (48)}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{512}{2 \cdot 48}$

Schritt 8.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{512}{48}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $512$ und $48$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Faktorisiere $16$ aus $512$ heraus.

$\frac{16 (32)}{48}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$\frac{16 \cdot 32}{16 \cdot 3}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \cdot 32}{16 \cdot 3}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{32}{3}$

Dezimalform:

$10.\overline{6}$