Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{n}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $n^{\frac{1}{n}}$ als $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ um.

$lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{n}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{n \to 8} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{n} \ln (n)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{n} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} n} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} n} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (8)}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\ln (8)$ .

$e^{\frac{\ln (8)}{8}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{\frac{\ln (8)}{8}}$

Dezimalform:

$1.29683955 \dots$