Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{\sqrt{n}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 1 - {(- 1)}^{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 1 - lim_{n \to 8} {(- 1)}^{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1 - lim_{n \to 8} {(- 1)}^{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1 - {(- 1)}^{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1 - {(- 1)}^{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1 - {(- 1)}^{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1 - {(- 1)}^{8}}{\sqrt{8}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{8}$ .

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Schritt 7.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{8}}{\sqrt{8}}$

Schritt 7.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + {(- 1)}^{1 + 8}}{\sqrt{8}}$

Schritt 7.1.1.2

Addiere $1$ und $8$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{9}}{\sqrt{8}}$

Schritt 7.1.2

Potenziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{1 - 1}{\sqrt{8}}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{8}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{0}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{0}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 (\sqrt{2})}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.4

Dividiere $0$ durch $\sqrt{2}$ .

$0$