Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 2} - x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} - 23 x + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to - 2} x^{4} + lim_{x \to - 2} 3 x^{3} + lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - lim_{x \to - 2} 23 x + lim_{x \to - 2} 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- {(lim_{x \to - 2} x)}^{4} + lim_{x \to - 2} 3 x^{3} + lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - lim_{x \to - 2} 23 x + lim_{x \to - 2} 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- {(lim_{x \to - 2} x)}^{4} + 3 lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - lim_{x \to - 2} 23 x + lim_{x \to - 2} 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- {(lim_{x \to - 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - lim_{x \to - 2} 23 x + lim_{x \to - 2} 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- {(lim_{x \to - 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 9 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 23 x + lim_{x \to - 2} 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- {(lim_{x \to - 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 23 x + lim_{x \to - 2} 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 7

Ziehe den Term $23$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- {(lim_{x \to - 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 23 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{- {(lim_{x \to - 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 23 lim_{x \to - 2} x + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{- {(- 2)}^{4} + 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 23 lim_{x \to - 2} x + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{- {(- 2)}^{4} + 3 {(- 2)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 23 lim_{x \to - 2} x + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{- {(- 2)}^{4} + 3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} - 23 lim_{x \to - 2} x + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{- {(- 2)}^{4} + 3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} - 23 \cdot - 2 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 + 3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} - 23 \cdot - 2 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{- 16 + 3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} - 23 \cdot - 2 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 16 + 3 \cdot - 8 + 9 {(- 2)}^{2} - 23 \cdot - 2 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{- 16 - 24 + 9 {(- 2)}^{2} - 23 \cdot - 2 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 16 - 24 + 9 \cdot 4 - 23 \cdot - 2 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{- 16 - 24 + 36 - 23 \cdot - 2 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.7

Mutltipliziere $- 23$ mit $- 2$ .

$\frac{- 16 - 24 + 36 + 46 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.8

Subtrahiere $24$ von $- 16$ .

$\frac{- 40 + 36 + 46 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.9

Addiere $- 40$ und $36$ .

$\frac{- 4 + 46 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.10

Addiere $- 4$ und $46$ .

$\frac{42 + 12}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.1.11

Addiere $42$ und $12$ .

$\frac{54}{x^{4} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 12 x^{2} - 16 x$ heraus.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{54}{x \cdot x^{3} - 12 x^{2} - 16 x}$

Schritt 10.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$\frac{54}{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) - 16 x}$

Schritt 10.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{54}{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) + x \cdot - 16}$

Schritt 10.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x (- 12 x)$ heraus.

$\frac{54}{x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 16}$

Schritt 10.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 16$ heraus.

$\frac{54}{x (x^{3} - 12 x - 16)}$