Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 6 x + 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x + lim_{x \to 2} 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 6 x + lim_{x \to 2} 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x + 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 6 lim_{x \to 2} x + 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 6 \cdot 2 + 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 6 \cdot 2 + 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{4 - 12 + 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$\frac{- 8 + 8}{x^{2} - 4}$

Schritt 6.1.4

Addiere $- 8$ und $8$ .

$\frac{0}{x^{2} - 4}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 6.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $(x + 2) (x - 2)$ .

$0$