Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{4 + 4 - 1 \cdot 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4 + 4 - 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 6.1.4

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{8 - 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{5}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 6.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{5}{(x + 2) (x + 3)}$